Brownsche Bewegung

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Oberflächenmaße

Tafelbild zur bedingten Brownschen Bewegung Urheberrecht: © privat

Normiert man das Lebesguemaß auf einer Tube um eine kompakte Riemannsche Untermannigfaltigkeit im euklidischen Raum, und lässt den Tubenradius gegen Null gehen, konvergieren die Maße auf den Tuben im schwachen Sinne gegen das normierte Riemannsche Volumen der Untermannigfaltigkeit. Eine Verallgemeinerung dieser Prozedur auf Subniveaumengen passender, auf der Untermannigfaltigkeit verschwindender und ansonsten positiver Funktionen liefert das sogenannte mikrokanonische Ensemble.

Während die Betrachtung ähnlicher Situationen in einem unendlichdimensionalen Kontext durchaus mit Hilfe von Analogieschlüssen möglich ist, ist eine exakte mathematische Beschreibung keineswegs einfach. Mehrere grundlegende Probleme der unendlichdimensionalen Analysis, wie die Nicht-Existenz translationsinvarianter Maße, das Fehlen eines hinreichend allgemeinen Analogons des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung beziehungsweise des Satzes von Stokes und die die mögliche Orthogonalität unendlicher Produktmaße bei Äquivalenz der Maße der einzelnen Faktoren (Kakutani-Dichotomie) stehen bislang einer ausreichend allgemeinen Behandlung dieser Fragestellung im Wege.

Ich habe mich daher in den letzten Jahren mit folgender Frage auseinandergesetzt, welche man als unendlichdimensionales Analogon des ersten oben beschriebenen Prozesses sehen kann: Bedingt man die Brownschen Pfade in einer Riemannschen Mannigfaltigkeit M darauf, bis zu einem festen Zeithorizont T die Tube \(L(\epsilon)\) vom Radius \(\epsilon > 0\) um eine kompakte Untermannigfaltigkeit L in M nicht zu verlassen und betrachtet das Verhalten dieser Familie von Maßen für \(\epsilon\) gegen Null -- konvergieren diese Maße im schwachen Sinn gegen ein Grenzmaß auf dem Pfadraum der Untermannigfaltigkeit und wenn ja, was weiß man über das Grenzmaß? Eine vorläufige Antwort auf diese Fragen wird in den Preprints arXiv:1908.01385 (gemeinsam mit Vera Nobis) und arXiv:1908.01387 zu geben versucht.